Polynomialfunktion aus ganzzahliger Wertetabelle

[Clawg]

Wie kann ich denn eine ganzzahlige Polynomialfunktion aus einer (ganzzahligen und beschränkten) Wertetabelle erstellen?

Also ich hab eine Reihe von Funktionswerten,

und möchte daraus eine Polynomialfunktion

.

Mein erster Ansatz war eine Summe von Funktionen zu bauen, die immer 0 werden, bis auf den Fall (x_1, ..., x_n) = (c_j1, ..., c_jn) und a_j in eben jenem Fall. Das geht z.B. über

, wobei 'p' den Rand des Wertebereichs, c_ji die jeweiligen Parameterwerte für x_i aus der Wertetabelle darstellt und d_j das Produkt aus dem Funktionswert a_j und dem Wert, der sich durch das Einsetzen der Konstanten c_ji in die x_i ergeben:

Was ich letztlich möchte ist aus z.B.
c_00 = 1
c_01 = 2
c_10 = 3
c_11 = 4
a_1 = 0
a_2 = 2
a_3 = 1
a_4 = 2
ein Polynom zu erhalten.
Leider, da d_j größer werden kann, als einer der Summenglieder, ergeben sich Bruchzahlen, was natürlich unschön ist
Gibt es da noch eine andere Möglichkeit / Idee? Oder ist es zwingend, dass sich irgendwo Bruchzahlen ergeben, d.h. gibt es nur jeweils eine mögliche Polynomialdarstellung?

 

[EnimaN]

es gibt genau ein polynom - der beweis ist sogar extrem einfach:

f,g seien unterschiedliche polynome vom grad n, die folglich an n+1 stützstellen übereinstimmen.

somit ist h=f-g auch ein polynom, das an den stützstellen nullstellen (also n+1 stück) besitzt und außerdem maximal vom grad n ist. ein polynom n-ten grades, welches n+1 nullstellen besitzt muss nach dem fundamentalsatz aber identisch null sein.

die standard-darstellung
\sum_{i=0}^n a_i x^i = 0
ist somit bis auf einen faktor bestimmt. d.h. du kannst deine koeffizienten a_i durchaus aus den ganzen zahlen wählen.

deine gewählte darstellung sieht mir stark nach der lagrange-form aus. afaik gibt es noch eine newton-darstellung (google).

ein komplett anderer ansatz wäre evtl das schema von aitken, wenn du die gemittelte funktion nur an bestimmten stellen auswerten möchtest.

 

[Clawg]

Ah, ok, das hilft weiter
Konnte nur leider bisher nicht dran weiterarbeiten weil mir der Laptop abgeraucht ist -_-

kA ob das Lagrange ist, die hab ich mir selbst überlegt

Aitken fällt wohl weg, weil ich die komplette Funktion und alle Funktionswerte brauche, Newton schaue ich mir nochmal an.

Einziger Punkt, der aus deiner Erklärung noch nicht herauskommt, ist der, ob das auch auf multidimensionale Polynome wie hier (x_1, x_2, ..., x_n) zutrifft, da fehlt glaube ich noch ein Schritt in der Erklärung, aber ich denke mal, wenn es in einer Dimension klappt, dann auch in allen - bin mir auf Anhieb nur nicht sicher

 

[EnimaN]

jo die verallg. ist einfach und die eindeutigkeit (bis auf einen konstanten faktor) gilt noch immer.

 

[Didier]

Alternativ koenntest Du auch den Grad des Polynoms erhoehen um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten. Jeder zusaetzlicher Exponent gaebe Dir einen zusaetzlichen Freiheitsgrad.

 

[EnimaN]

dann ist es aber nicht mehr eindeutig bestimmt - ich glaube nicht, dass er das will... zumal es evtl. nicht so einfach ist, ganzzahlige lösungen für die koeffizienten eines unterbestimmten polynoms zu bestimmen.