Matrizen Update Inside :)

[Hendr1k]

Sei M im R2x2, zeigen sie das

M^-1 = M ^T

Also die Inverse von M = der Transponierten von M

Also Ansatz M
(a b)
(c d)

=> M^T :

(a c)
(b d)

=> M^-1:

( d/(ad-cb) -b/(ad-cb) )
( -c/(ad-cb) a/(ad-cb) )

Dann habe ich ja ein Gleichungssystem:

a = d/(ad-cb)

c = -b/(ad-cb)

b = -c/(ad-cb)

d = a/(ad-cb)

Dann hab ich im Papula die Bedingung gelesen, dass wenn M^-1 = M^T sein soll, die Determinaten von M = 1 oder -1 sein muss, würde ja heißen:
det(M) = ad - cb = 1 V -1

Daraus folgt ja dann

a=d und c = -b

NUn habe ich die Matrix

M:
( a b)
(-b a)

Dann heißt das ja nun auch, dass a²+b² = 1 v -1 sein müssen,oder?
Oder wie lautet die Matrix M?

 

[killerchicken_inaktiv]

Schreib die Aufgabe doch bitte mal ordentlich und mit LaTeX auf...

[edit] ah. Nun sieht man etwas mehr, nachdem du reineditiert hast

[edit#2] Wenn du jetzt noch sagst, wo du hängst, wird das allmählich ne gute Fragestellung.

 

[Hendr1k]

Aufgabe 2:

Sei M 3x3

(1 -1-k 1)
(0 -6-2k 1-k)
(0 -6 3)

Bestimmen sie K so, dass der Rang nicht maximal ist.
Es handelt sich um ein homogenes Gleichungssystem, und ich habe leider kein Programm hier um das zu überprüfen, aber -5 +/- Wurzel(6) scheint mir nicht so richtig.

 

[Devotika]

Für lineare Algebra unter Win.

http://sourceforge.net/project/showfiles.php?group_id=2888

Weiß aber gerade nicht, ob man damit auch Gleichungsssyteme lösen kann. Aber definitiv Inversen bilden, Determinante ausrechnen, Rang berechnen usw.

Und die Rechenregeln lernen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Transponierte#Die_transponierte_Matrix
http://de.wikipedia.org/wiki/Inverse#Rechenregeln

 

[Hendr1k]

die rechenregeln kann ich ja

mir gehts jetzt nur um den genauen zusammenhang, damit m^-1 = m^T gilt.

 

[crazyBlTCH]

Verstehe die Frage nicht so genau, so wie das da steht müsste man zeigen, dass allgemein im R^2 die inverse von M gleihc der transponierten ist, was wohl kaum richtig ist, meinst du eher was für bedingungen für a,b,c,d gelten müssen wenn M^-1 = M^T ?

Falls das so gemeint war, lies mal das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix

btw darfst du nicht einfach benutzen, dass die abs detM = 1 haben muss, müsstest du erst zeigen, wenn ihr das nicht in der Vorlesung hattet, kann man zeigen, indem man zeigt, dass die Eigenwerte betrag 1 haben. Das gilt aber im Übrigen nichtmal für alle orthogonalen Matrizen, sondern nur für die aus der SO...



=======

Bei Aufgabe 2 komme ich auf k = -1:

der Rang ist nicht maximal gdw die Determinante = 0 ist, also det berechnen, ist = 12(1+k) --> also det = 0 wenn k = -1. Dann sparst du dir die Gleichungssysteme

 

[Hendr1k]

danke für den tip mit der determinante, dass ist wohl um einiges einfacher als Gauß

 

[Jesus0815]

Mit den Determinanten lassen sich alle Gleichungssysteme wunderbar auflösen. Aber kann sein das dein Prof. in der Klausur das Gauß-Jordan-Verfahren verlangt; so gings zumindest mir...

 

[Hendr1k]

oh hab leider eine glaube ich nicht ganz richtig umgeformte determinante gepostet.

(1 -1-k 1)
(2 -4 3-k)
(4-k 6 3)

 

[crazyBlTCH]

also mit dem link oben solltest du die determinanten eigentlich schon selbst ausrechnen können...

von der matrix ist die determinante - k^3 + 6·k^2 + 3·k - 8

Nullstellen bestimmen geht mit einsetzen erstmal. Jede ganzzahlige Nullstelle die du finden wirst ist ein Teiler von 8. also einfach mal 1, -1, 2, -2 usw einsetzen. wenn du eine gefunden hast dann polynomdivision und pq oder abc-Formel

Spoiler

k = 5/2 - √57/2 ∨ k = √57/2 + 5/2 ∨ k = 1

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Hendr1k
Sei M im R2x2, zeigen sie das

M^-1 = M ^T

Also die Inverse von M = der Transponierten von M

Kann man nicht zeigen, da es nicht stimmt. Sieht man schon daran, dass es zu jeder (quadratischen) Matrix eine Transponierte, aber nicht unbedingt eine Inverse gibt.
Um eine Aufgabe zu lösen, sollte man sie als erstes verstehen, also nochmal durchlesen, verstehen, und dann evtl wiederkommen.

 

[Hendr1k]

Re: Re: Matrizen Update Inside

Original geschrieben von voelkerballtier

Kann man nicht zeigen, da es nicht stimmt. Sieht man schon daran, dass es zu jeder (quadratischen) Matrix eine Transponierte, aber nicht unbedingt eine Inverse gibt.
Um eine Aufgabe zu lösen, sollte man sie als erstes verstehen, also nochmal durchlesen, verstehen, und dann evtl wiederkommen.

Bevor du hier die Welle machst, solltest du vllt. erstmal die Aufgabe lesen und meine Ansätze!

Unter bestimmten Vorraussetzungen gibt es sehrwohl eine Matrix
(a b)
(c d)

Wobei M^1 = M^T ist!

Ansatz wurde von mir oben geliefert.

Desweiteren steht im Papula:

"A^T = A^-1

Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal und nomiert, es ist stets detA = 1 oder detA = -1 und A * A^T = A * A^-1= E.
Eine orthogonale Matrix ist immer Regulär"

@ Crazybitch: Danke, habe das Gleiche nun auch von Hand raus

 

[General Mengsk]

"Unter bestimmten Vorraussetzungen" ist aber nicht das, was du in deiner Aufgabe oben schreibst. Das ist auch hier schon aufgefallen:

Original geschrieben von crazyBlTCH
Verstehe die Frage nicht so genau, so wie das da steht müsste man zeigen, dass allgemein im R^2 die inverse von M gleihc der transponierten ist, was wohl kaum richtig ist, meinst du eher was für bedingungen für a,b,c,d gelten müssen wenn M^-1 = M^T?

Darauf hast du bisher allerdings überhaupt nicht reagiert. Du rechnest munter drauf los ohne überhaupt klar zu machen, was du nun eigentlich zeigen willst. Dann kann dir auch keiner vernünftig helfen. Denn eines es ganz klar: So wie die Aufgabe formuliert ist, nämlich für alle rellen 2x2-Matrizen, gilt das auf keinen Fall.

 

[Hendr1k]

Aufgabe ist es halt eine Matrix zu suchen, für die diese Bedingung gilt, ich war der Meinung, dass das klar war, da ich schon die Matrix in allgemeiner Form hingeschrieben habe.

Wenn das nicht ersichtlich war, war es nicht meine Absicht.


( Wurzel(0.5) Wurzel(0.5))
(-Wurzel(0.5) Wurzel(0.5))


habs nun nachgerechnet, und es passt, ist das nun die einzige Matrix, oder gibt es noch weitere?

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Hendr1k
Aufgabe ist es halt eine Matrix zu suchen, für die diese Bedingung gilt.

Auch das glaube ich nicht, da es viel zu einfach wäre nur das Trivialbeispiel (Einheitsmatrix) zu nennen. Es gibt natürlich (überabzählbar) unendlich viele solcher Matrizen und eine weitere kann ich dir anhand deiner bisher gefundenen schon nennen: deren Transponierte erfüllt die Bedingung natürlich auch (komisch wa?) und noch eine fällt mir spontan ein: -1 * Einheitsmatrix
Leider ist die Frage immernoch unklar, vermutlich sowas wie : Finden sie alle M € R2x2 mit M^T = M^-1, oder?

 

[Hendr1k]

ne die frage ist leider allgemein formuliert und soviele kann es ja nicht geben da ja det(A) = 1 oder -1 gelten muss.

 

[voelkerballtier]

ja kannst du die mal wörtlich wiedergeben oder so?

 

[Hendr1k]

die aufgabe wurde mir so übermittelt aus einer klausur,

Sei R2x2

Bestimmen sie eine Matrix so das gilt

M^-1 = M^T


Kumpel von mir hat die gemacht, und so wie ich die Inverse und Transponierte gebildet, aber er hat noch mehr verlangt und nur 4/10 Punkten bekommen.

Ich bin mit meinem Latein am Ende, alle meine Ansätze habe ich gepostet.

 

[killerchicken_inaktiv]

Ich schätze mal, dass dein Kumpel die Aufgabe in der Klausur nicht richtig verstanden hat, daher auch weniger Punkte - wenn das wirklich eine Klausuraufgabe war, genau so, wie du es geschrieben hast, sollte man mal ein ernstes Wort mit dem Prof reden

 

[maziques]

Original geschrieben von Hendr1k
ne die frage ist leider allgemein formuliert und soviele kann es ja nicht geben da ja det(A) = 1 oder -1 gelten muss.

diese aussage ist auf alle fälle nen preis wert.

wie schon gesagt wurde, die aufgabe, die du hier beisteuerst, ist auf garkeinen fall die, die dein freund lösen wollte.

so wie ich mir das zusammenreime, kann es nur die frage gewesen sein, welche matrizen aus 2x2 die orthogonalität erfüllen und das dann anschließen noch zu beweisen, was jetzt nicht so das riesenproblem darstellen sollte ( graue erinnerung ) .

@ crazybitch:

zeig mir mal bitte eine quadratische orthogonale matrix, die nicht |det M|=1 erfüllt.

 

[crazyBlTCH]

Original geschrieben von maziques


@ crazybitch:

zeig mir mal bitte eine quadratische orthogonale matrix, die nicht |det M|=1 erfüllt.

hatte mich vertan, irgendwie die definition der orthogonalen und speziellen orthogonalen gruppe falsch im kopf gehabt, sry