Mathe, Funktionentheorie

[-OdiN-]

MAthe ,Funktionentheorie

was ziemlich einfaches imho, bin mir aber nicht sicher.

Warum muss ich ne holomorphe funktion um ne singularität in der laurentreihe entwickeln und darf dies nicht mit der potenzreihe machen?
im buch wird das einfach so postuliert.

hängt das mit den konvergenzgebieten zusammen?

laurentreihe konvergiert mir ja aufm kreisring, wobei die Potenzreihe aufm kreis konvergiert der ja dann die singularität beinhalten würde.




danke schon ma im voraus

 

[MesH]

Laurentreihe konvergiert aufm Kreisring, Taylorreihe auf ner Kreisscheibe. Die Taylorreihe wird für nen Kreisring nicht reichen (sofern du auch nen echten Kreisring hast ).

 

[voelkerballtier]

meine bescheidenen Kenntnisse der funktionentheorie sagen mir, dass eine fkt. genau dann holomorph ist, wenn sie überall in eine potenzreihe entwickelt werden kann (unendl. oft diff-bar ist). Daher verstehe ich deine Frage nicht so ganz. Meinst du überall bis auf ein z0 (singularität) holomorph? Weil dann ist ja klar dass dort die potenzreihe nicht reicht, weil es ja dann keine singularität wäre - oder wie?

 

[EnimaN]

du kannst doch keine taylorreihe um ne singularität aufstellen das macht überhaupt keinen sinn, da du die nötigen ableitungen an der singularität gar nicht auswerten kannst.

abgesehen davon, ist ne holomorphe (aka. analytische) funktion überall diff-bar. was du meinst, ist evtl ne meromorphe funktion.

 

[-OdiN-]

edit meinte mit Potenzreihe die taylor reihe. war in der schnelle geschrieben.

naja haben den begriff meromorph nur im zuge des gebiets eingeführt.
also ein holomorphes gebiet mit vereinzelten singularitäten.



die Laurentreihe ist doch wie gesagt ein spezialfall einer potenzreihe, die wiederum mein konvergenzgebiet auf einen kreisring einschränkt.
bin ich hier total falsch?


leuchtet mir ein, dass die taylorreihe ich an den singularitäten nicht auswerten kann. reicht das schon als begründung?

 

[EnimaN]

wie kann denn ein gebiet holomorph sein? das ist doch eine eigenschaften von funktionen (genau das gleiche gilt für meromorph)

potenzreihen sind wohl beides, wobei je nach definition als potenzreihen wohl meistens nur jene mit positiven exponenten bezeichnet werden (was dann laurent-reihen ausschließen würde)

was ist denn nun eigentlich deine frage -.-

 

[voelkerballtier]

Also du wirfst hier schon einiges durcheinander.

1. Wie schon gesagt, eine holomorphe Funktion hat keine Singularitäten und kann daher auch nicht an singulären Stellen entwickelt werden.

2. Laurent-Reihe ist eine Verallgemeinerung der Potenzreihe - nämlich dahingehend, dass auch negative Exponenten zugelassen werden. Das wiederum führt dazu, dass man mit jenen auch singuläre Funktionen entwickeln kann.

 

[EnimaN]

sprich mir nicht nach

 

[-OdiN-]

laut vorlesung ist ein meromorphes gebiet ein Gebiet , dass holomorph bis auf isolierte Punkte ist.

also beziehen sich die eigenschaften meromorph und holomorph auf funktionen.
ok hätten wir das geregelt.
dann ist auch mein problem gelöst, wenn die laurentreihe die entwicklung einer meromorphen funktion ist
und die potenzreihe, die einer holomorphen funktion.

hier wurden die eigenschaften über die gebiete definiert.


Meine Frage war, wieso eine Funktion mit Singularitäten in der Laurentreihe entwickelt werden muss, und nicht über eine allgemeine Potenzreihe .

Eniman hat dies ja begründet, dass man ja die taylorreihe bei einer singularität schlecht auswerten kann.

meine vermutung war aufgrund des konvergenz"gebietes" (also Scheibe , die die Singularität beinhalten würde, was ja im Widerspruch stehen würde, da sie ja hier gerade nicht entwickelbar ist)

habe für die funktionentheorie nicht das tiefe verständnis wie mans haben sollte, aber für 4-5 fragen in der vordiplomsprüfung sollte es halt irgendwie reichen.also habt nachsicht.

 

[SvenGlueckspilz]

Eine Potenzreihe ist in ihrem Konvergenzgebiet holomorph. Wenn eine Funktion eine nichthebbare Singularität hat, also in einem Punkt nicht holomorph ist, kann sie darum also auch nicht in eine Potenzreihe entwickelt werden, da sie ja sonst holomorph wäre. Eine Laurentreihe ist kein Spezialfall einer Potenzreihe sondern umgekehrt.
Zum Beispiel die Funktion f(z) = 1/z hat eine Polstelle in 0. 1/z ist gleichzeitig die Laurentreihe. Könnte man die Funktion um 0 in eine Potenzreihe entwickeln, so wäre die Funktion um 0 holomorph, was sie aber nicht ist.

Ach übrigens holomorph bis auf isolierte Singularitäten bedeutet noch nicht meromorph. Meromorphe Funktionen dürfen nur Polstellen haben, keine wesentlichen Singularitäten.

 

[EnimaN]

naja du drückst dich wirr aus - ein gebiet an sich kann weder analytisch noch meromorph sein - höchstens eine funktion AUF EINEM GEBIET kann das, aber das meinst du wohl.

und die laurent-reihe ist auch nicht _die_ entwicklung einer meromorphen funktion - grundsetzlich kann es unendlich viele entwicklungen geben (es kommt natürlich auf den punkt an, um den man entwickelt)

analytische funktionen sind nun bis zum rand ihres analytizitätsbereiches entwickelbar.

und der einwurf von svenglückspilz ist natürlich auch richtig, dass meromorph noch ein recht spezielle unterklasse ist.

je nachdem wie ausführlich ihr das in der vorlesung behandelt habt (und was fürn fach du studierst) würde ich mir das schon noch ein wenig genauer anschauen, da die mathe-profs gewöhnlich auf richtige formulierungen wert legen, und du dort noch nicht sicher zu sein scheinst.

 

[-OdiN-]

studiere physik, meinem prof sind eigtl definitionen und ausdrücke recht egal , solange man den kern der sache geblickt hat.
er hält mathe für ziemlich "unwichtig", ers selber physiker und wurde verbannt weil er anhänger der bohmschen mechanik ist und sich wohl mal öffentlich dumm ausgedrückt hat.

werde mich hier dann wohl eher kurz fassen, falls er fragt und nicht großartig wissen vortäuschen.
werds mir die tage aber nochma genauer durchlesen.
danke für die beiträge , hat ganz gut geholfen.
der rest ist ja nur noch definitionen paukerei

danke

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von -OdiN-
studiere physik, meinem prof sind eigtl definitionen und ausdrücke recht egal , solange man den kern der sache geblickt hat.
...
werds mir die tage aber nochma genauer durchlesen.

ja wollte ich dir auch gerade empfehlen, da deine posts schon so aussehen, als herrschten da noch ein paar unklarheiten. Nochmal kurz: Man braucht Laurent-Reihen, weil Potenzreihen an Singularitäten nicht ausreichen. Die verschiedenen Konvergenzgebiete sind eher Folgerungen als Begründungen. Das Konvergenzgebiet einer Laurentreihe um einen singulären Punkt kann keine Kreisscheibe sein, weil der Punkt selbst eben singulär ist und damit weder die Funktion noch die Reihe dort definiert sein darf - also nimmt man halt einen Kreisring.
(Alles jetzt etwas salopp ausgedrückt - aber da du auch Physiker bist, wage ich das einfach mal )

 

[-OdiN-]

naja mir taugt analysis allgemein sehr wenig. hatte vor allem in den ersten semester dafür kaum was getan, immer nur auf bestehen gelernt und schnell wieder verlernt. daher fehlt das tiefere verständnis dafür.
naja mir liegen eher die theoretischen physikvorlesungen aber durch das übel muss ich leider noch ein letztes mal
und ich hätte gern nen 1, vdp

 

[EnimaN]

hmm, wenn du theoretische physik magst, dann solltest du dich aber auch für mathematik begeistern können -.-

 

[-OdiN-]

geht so.
meine erfahrungen mit e-dynamik, QM und klass mech. haben mich nicht wirklich vom nutzen der Funktionentheorie oder allgemeinen Maßtheorie überzeugt. (allg. Analysis 1-3 ) Wenn dann eher linalg.
sicher ist es toll, zu wissen das man es mathematisch machen darf.
aber mein prof meinte das schon auch, wir rechnen das jetzt einfach mal durch und falls es nicht klappt erkennen wir auch an, das die mathematiker zu etwas nutze sind und werden dann erst mal schauen ob man das auch darf. ~~

danke nochmal für die posts. wird schon schief gehen. der rest sitzt ganz gut, ist ja nur nen teilthema worüber er 4-5 fragen stellt.