Need mathe hlp integralrechnung....

[PiZzA]

wenn mir jemand ne verständliche lösung für folgendes problem geben könnte wäre des 1a.

Man soll beweisen, dass der Wert des Integral von


-unendlich bis + unendlich von h(x) * x * dx bei jeder symmetrischen Funktion den Symmetriepunkt annimmt...

thx

 

[PasswortUnsichtbar]

Was ist deine Definition von symmetrischer Funktion?
Mit "den Symmetriepunkt annimmt" meinst du die x-Koordinate des Symmetriepunktes?
Die Funktion h(x) hat doch sicher noch andere Eigenschaften (kompakter Träger?), ansonsten ist das Integral nicht immer definiert...

 

[PiZzA]

naja

also du kannst davon ausgehen dass die funktion keine definitionslücken, unstetigkeiten etc hat...

Das thema ist messtechnik, und es geht um die statistische verteilung von messergebnissen.

und ja, ich meine den wert der x-koordinate - bissi unglücklich ausgedrückt

 

[PasswortUnsichtbar]

Hmmm, da ist trotzdem noch was falsch. Ist h vielleicht 'ne Dichtefunktion? ( http://de.wikipedia.org/wiki/Dichtefunktion )

Ansonsten einfaches Gegenbeispiel: Nimm h(x)=x^m. Für m ungerade hat die Funktion nen punktsymmetrischen Graphen, für m gerade nen achsensymmetrischen (je nachdem was Du mit Symmetrie meinst). Das von dir angegebene (uneigentliche) Integral mit so einem h ist in beiden Fällen offensichtlich nicht definiert!

 

[Aule2]

Physiker und so verwenden gerne: lim_T-->oo INT_-T^T f als interpretation des uneigentlichen Integrals von -oo bis oo

ist zwar Humbug, machen die aber
In diesem Falle hier würde es dann wohl eine Lösung geben!

 

[PiZzA]

naaaaaaaaa....

also naja wie gesagt es handelt sich um eine wahrscheinlichkeitsfunktion (also ja, wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) d.h h(x) muss um gesamten integral 1 ergeben. (achtung: es gibt keien negativen flächen, da es keine negativen wahrscheinlichkeiten gibt)


einfaches beispiel: ein Dreicken mit den eckpunkten 0/0, 2b/0 und b/h0. da ist der wert des integrals auf jeden fall b. sehen tut man es auf jeden fall, da my (= das integral oben) ja definitionsgemäß der erwartungswert ist, und dieser muss ja immer muss ja mit dem symmetriepunkt übereinstimmenhttp://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von PiZzA
naaaaaaaaa....

also naja wie gesagt es handelt sich um eine wahrscheinlichkeitsfunktion (also ja, wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) d.h h(x) muss um gesamten integral 1 ergeben. (achtung: es gibt keien negativen flächen, da es keine negativen wahrscheinlichkeiten gibt)
[/url]

ok mit der zusätzlichen information bekommt man wirklich x0 raus:
beweisidee:
h(x) symmetrisch um x0: h(x0 - x) = h(x0 + x)
substituiere im integral x -> x0 + x, dann dann schreibe das integral als summe zweier gleicher terme und ersetze in einem h(x0 + x) mit h(x0 - x) (vorischt bei den vorzeichen), damit erhält man

1/2 [ int h(x0 + x) (x0 + x) dx + int h(x0 - x) (x0 + x) dx ] integrale jeweil -infty bis infty

dann im hinteren term x-> -x substituieren und in beiden integralen die klammer (x0 + x) bzw (x0 - x) ausmultiplizieren. Dann erhält man

1/2 [ 2 * x0 * int h(x0 + x) dx ] = x0, da das integral ja gleich eins sein soll

ohne die letzte, sehr starke forderung wäre das ganze u.U. nicht definiert und da hilft auch der limes nix aule

 

[Aule2]

naja, wär es achsensymmetrisch zur x=0 -Achse, so wär das wg dem * x Punktsymm zum Ursprung und damit wär das Integral in diesem komischen Sinne gleich null...

 

[voelkerballtier]

ja klar kommt bei mir ja auch raus für x0 = 0

und der limes ist übrigens kein "humbug von physikern", sondern die korrekte mathematische definition von uneigentlichen integralen über den grenzwert. wenn der grenzwert nicht existiert, ist das integral auch nicht definiert - an der stelle sind physiker gern schlampig und rechnen trotzdem irgendwie damit rum, aber die definition über den grenzwert hat schon sinn.

 

[Aule2]

Nein:
Mathematiker: INt_-oo^oo es genau dann, wenn für beliebiges c die GWe lim_T-->oo INT_c^T und lim_T-->oo INT_-T^c existieren

Physiker: (manchmal) gleichzeiter GW INT_-oo^oo = lim T -->oo INT_-T^T....

Unterschiede sind zB x ist im diesem komischen Inne Int-Bar im sinnvollen Sinne nicht Int-bar.

 

[voelkerballtier]

Original geschrieben von Aule2
Nein:
Mathematiker: INt_-oo^oo es genau dann, wenn für beliebiges c die GWe lim_T-->oo INT_c^T und lim_T-->oo INT_-T^c existieren

Physiker: (manchmal) gleichzeiter GW INT_-oo^oo = lim T -->oo INT_-T^T....

Unterschiede sind zB x ist im diesem komischen Inne Int-Bar im sinnvollen Sinne nicht Int-bar.

Damit hast du natürlich recht und ich hatte oben nicht aufmerksam genug gelesen.
Die Aussage und der Beweis gelten aber durchaus für die richtige Interpretation des Integrals, weil die dichtefkt hinreichend gutartig ist.

 

[Aule2]

genau
Ist halt L1 ^^