Kürzen bei Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion

[BlackDart]

Ich versuche grade den Lösungsweg einer Aufgabe im Buch nachzuvollziehen da es mir in Mathe aber an einigen Grundlagen fehlt, insbesondere wie das kürzen in solchen Fällen funktioniert, komme ich nicht wirklich dahinter und wollte mal nachfragen.

f"(x) = -2(x²-1)²-[-2x(4x(x²-1)] / (x2-1]^4

Das ist die Ausgangsgleichung. Im Buch wird daraus dann:

f"(x) = [-2(x²-1) + 8x²] / (x²-1)^3

Wie genau kommen die von A nach B? Und was muss man beim Kürzen in solchen Fällen beachten? Need help =/

 

[General Mengsk]

Irgendwie setzt du da unvollständig Klammern. Nutz am besten doch gleich den LaTeX-Generator.

So wie du das schreibst, würde sich am ehsten dies ergeben:

Ich tippe aber eher, daß beim Ausgangsterm der Nenner für alles gilt, dann käme auch das passende Ergebnis heraus:

Gekürzt wurde beides Mal einfach (x²-1). Beachten mußt du dabei nur die Fälle, woder gekürzte Ausdruck 0 werden kann. So hat die Funktion g1(x) = x/x z.B. eine (hebbare) Unstetigkeit bei 0, die Funktion g2(x) = 1 aber nicht.

 

[BlackDart]

Ja der Nenner gilt natürlich für alles, sry mein Fehler^^

Was ich dabei nicht verstehe:

Unterm bruchstrich haben wir (x²-1)^4

Überm Bruchstrich haben wir (x²-1)^2 und ein normales (x²-1) zwischen den beiden ein Minuszeichen. Muss man dann auf beiden Seiten vom Minuszeichen kürzen oder wie ist das?

Weil wenn man um das (x²-1)^2 kürzt müsste unterm Bruchstrich ja (x²-1)^2 überbleiben. Kürzt man um das (x²-1) würde zwar unterm Bruchstrich (x²-1)^3 übrig bleiben, aber wir hätten noch das (x²-1)^2 oben stehen.

Sowie ich das sehe geht das ganze nur wenn man auf beiden Seiten vom Minuszeichen jeweils um (x²-1) kürzt, was dann aber trotzdem nur als 1 x (x²-1) zählt (es bleibt ja (x²-1)^3 über) obwohls ja eigentlich 2 sind... weißt was ich meine?^^

 

[NacktNasenWombi]

schreib das ganze mal als latex o.O

du machst einfach aus den beiden - nen + und kürzt durch (x²-1)².. dann bleibt das über was GM hat

 

[BlackDart]

Diese Darstellung hier stimmt, so stehts auch im Buch. Was ich halt nich ganz nachvollziehen kann ist dieser zwischenschritt.

Wenn man (x²-1)^4 durch (x²-1)^2 kürzt müsste doch auch (x²-1)^2 übrigbleiben oder nich? Is das schon mein denkfehler?

 

[General Mengsk]

Original geschrieben von BlackDart
(...)

Sowie ich das sehe geht das ganze nur wenn man auf beiden Seiten vom Minuszeichen jeweils um (x²-1) kürzt, was dann aber trotzdem nur als 1 x (x²-1) zählt (es bleibt ja (x²-1)^3 über) obwohls ja eigentlich 2 sind... weißt was ich meine?^^

Ich weiß zwar jetzt nicht ob das für die Schule ist und welche Klasse dann, aber anscheinend hast du irgendwie noch nicht ganz durchdrungen, wie man kürzt. Natürlich läuft es auf die dritte Methode hinaus, weil man im Zähler ja einfach den Ausdruck (x²-1) ausklammern kann.

Ich habe diesen Schritt nur nicht extra hingeschrieben. Wenn das für dich zu schnell geht, halte dich an den alten Spruch "Aus Summen kürzen nur die ..." und klammere immer erst das aus, was du kürzen willst.

 

[BlackDart]

Original geschrieben von General Mengsk

Ich weiß zwar jetzt nicht ob das für die Schule ist und welche Klasse dann, aber anscheinend hast du irgendwie noch nicht ganz durchdrungen, wie man kürzt. Natürlich läuft es auf die dritte Methode hinaus, weil man im Zähler ja einfach den Ausdruck (x²-1) ausklammern kann.

Ich habe diesen Schritt nur nicht extra hingeschrieben. Wenn das für dich zu schnell geht, halte dich an den alten Spruch "Aus Summen kürzen nur die ..." und klammere immer erst das aus, was du kürzen willst.

Is für die Schule^^ Und ja ich hab das mit dem Kürzen noch nich wirklich verstanden, das liegt daran das ich, als wir das damals in der Schule gemacht haben (7 oder 8 klasse kA), nicht wirklich interesse an Schule und insbesondere Mathe hatte. Meine Einstellung dazu hat sich inzwischen zwar geändert aber einige Grundlagen fehlen bei mir halt trotz meiner Bemühungen das aufzuholen noch immer =/

Den Spruch: " Durch Summen kürzen nur die Dummen" bringt mein lehrer auch immer, wirklich verstehen tu ich das aber nicht. Wenn ich jetzt zb

(8+8)/4 habe kann ich da ja auch die 16, also die Summe, durch 2 kürzen und hab dann 8/2... Warum geht das in einem Fall und in einem anderen nicht?

/Edit gibt es zwischen Punkt 1 und Punkt 2 aus deinem Post noch weitere zwischenschritte? Falls ja schreib die mal bitte mit auf damit ich das nachvollziehen kann so steig ich da nich wirklcih durch...

 

[General Mengsk]

Weil diese Summe ein Vielfaches von 2 darstellt und das sogar für jeden Summanden einzeln gilt.

Beispiel: (3 + 3)/3 kannst du kürzen zu 2, denn (3 + 3)/3 = (1 + 1)*3/3 = 1 + 1 = 2
Gegenbeispiel: (2 + 3)/6 kannst du als Gesamtbruch nicht kürzen, denn 2 und 3 sind zwar jeweils Teiler von 6 aber nicht Vielfache von einander selbst.

Kürzen ist schließlich das Gegenteil von Erweitern: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner mit derselben Zahl (ungleich Null) multipliziert, da für x != 0 eben x/x = 1 gilt und die Multiplikation mit 1 einen Audruck unverändert lässt.
Beim Kürzen machst nun dies Rückwärts, d.h. du klammerst eben denselben Ausdruck in Zähler und Nenner aus und hast dann eine (nicht-triviale) Darstellung eines Faktors vom Wert 1, den du also weglassen kannst.

Nun klar?

 

[General Mengsk]

Original geschrieben von BlackDart
/Edit gibt es zwischen Punkt 1 und Punkt 2 aus deinem Post noch weitere zwischenschritte? Falls ja schreib die mal bitte mit auf damit ich das nachvollziehen kann so steig ich da nich wirklcih durch...

Öhm nein, was ist denn daran unklar? Ich löse die unnötigen Klammern im hinteren Summand auf, hier mal ganz kleinschrittig:

Danach nur noch (x²-1) ausklammern und fertig.

 

[BlackDart]

Original geschrieben von General Mengsk

Öhm nein, was ist denn daran unklar? Ich löse die unnötigen Klammern im hinteren Summand auf, hier mal ganz kleinschrittig:

Danach nur noch (x²-1) ausklammern und fertig.

Den teil kann ich nachvollziehen. Die andere hälfte also die -2(x²-1)² was mit der passiert ist mir nicht ganz klar. Unter punkt 1. sinds -2(x²-1)² und unter punkt 2 ists dann nurnoch (x²-1) da fehlt ne ganze Potenz und gekürzt wurde ja noch nicht, wo is die hin?^^

(Sry aber Mathe is echt net so meine stärke xD)

 

[General Mengsk]

ausgeklammert? (a³ - a) = a*(a² - 1) und sowas

 

[BlackDart]

Original geschrieben von General Mengsk
ausgeklammert? (a³ - a) = a*(a² - 1) und sowas

Aahhh... jetzt ist mir n Kronleuchter aufgegangen^^

Thx für die Hilfe jetzt hab ichs xD