Hyperebene/raum: Beinhaltet Null?

[Heimatloser]

Hallo, afaik habe ich einmal gelernt dass eine Hyperebene zwingend den nullpunkt enthalten muss, und habe daraus auch auf den Hyperraum geschlossen.
jetzt suche ich grad nach der Definition und finde auf Wiki dass die Null nicht enthalten darf, auf Yahoo-Answers dass die Null nicht zwingend enthalten sein muss, und leider nirgends das was ich damals gelernt hatte.

Also wie war das, kann mir jemand sagen was da wahr ist, ob ich den wiki artikel falsch lese (hab mich jetzt nicht lang damit beschäftigt) oder ob ich die letzten paar semester falsch gelegen habe?

 

[voelkerballtier]

1. was soll ein hyperraum sein?
2. wo steht bei wikipedia, dass die 0 nicht enthalten sein darf?

Richtig ist, dass die 0 des Ausgangsraumes nicht im unterraum (der hyperebene) enthalten sein muss.

Führt man auf der Hyperebene neue Koordinaten ein, "entsteht" ein neues 0-Element, da wegen der Vektorraumstruktur ein solches vorhanden sein muss.

 

[Devotika]

Habe mal die Definition aus unserem Mathebuch in Latex hingefriemelt.

p*n ist das Skalarprodukt.

So wie ich das lese, enthält die Hyperebene alle möglichen Vektoren x inklusive dem Nullvektor.

e: Oder was meinst du mit Nullpunkt?

 

[ash.Larf]

Eine Hyperebene muss nicht die 0 enthalten (kann aber unter Umständen)
Eine Hyperebene ist eine Menge von Vektoren der Form:

a+U, wobei a ein n-Vektor ist (kann 0 sein muss aber nicht!) und
U ein Untervektorraum der Dimension (n-1). In dem Untervektorraum ist die 0 enthalten.

 

[Hendr1k]

Ist die Hyberebene nicht einfach die Taylorapproximation, die man nach der ersten Ableitung abbricht?!

 

[Heimatloser]

voelkerballtier: 1.) hyperraum, das soll dasselbe sein wie hyperebene nur eben eins höher, dachte ich.
genauso könnte man hyperlinie einführen, wo eben eine dimension bei der abbildung verloren geht.
berichtige mich falls ich hier schon wieder falsch denke
2.) im artikel über hyperebenen?

Devotika: da steht doch nur "eine ebene die auf einen vektor senkrecht steht heißt hyperebene" oder vertu ich mich da?
gott o gott, dieses dumme access programmieren hier das ich als ferienjob mache, macht mich noch dumm!

larf: check ich nicht

hendr1k: äh, jetzt bin ich ganz durcheinander...

zusammenfassung:
ich räum jetzt tatsächlich mal meine alten unterlagen raus

 

[voelkerballtier]

1. : Hyperraum ist kein mathematischer Begriff. Was du wahrscheinlich meinst, ist eben genau eine Hyperebene: die Verallgemeinerung einer Ebene als n-1 dimensionaler Unterraum eines n-dimensionalen Vektorraumes. Siehe auch Wikipedia-Artikel zu Hyperraum

Zudem wird der Begriff Hyperraum – analog zur Hyperebene oder zum Hyperwürfel – auch gelegentlich (meist in Unkenntnis der mathematischen Fachbegriffe), insbesondere im Kontext der Elementargeometrie, als Synonym für den vier- oder höherdimensionalen euklidischen Raum verwendet.

2. Zitat bitte, ich habe nix derartiges im Wikipedia-Artikel über Hyperebenen gefunden.

Devotikas Definition ist eigentlich ganz gut, da sie sicherstellt, dass die Hyperebene Vektorraumstruktur hat. Dazu braucht man natürlich den Nullvektor als Element der Hyperebene.
Es lassen sich aber auch Hyperebenen ohne den ursprünglichen Nullpunkt definieren, trivialerweise entstehen die aber einfach durch Translation und sind somit mathematisch äquivalent zu den ersteren.

 

[ash.Larf]

Ich meinte:

Untervektorraum ist im zweidimensionalem z.B. eine Gerade durch den
Nullpunkt. Im dreidimensionalen eine Ebene die den Nullpunkt enthält.

Eine Hyperebene ist im zweidimensionalen eine Gerade.
Im dreidimensionalen eine Ebene.

Insbesondere muss eine Hyperebene nicht den Nullpunkt enthalten.

 

[Aule2]

Eine Hyperebene H eines Raumes X ist ein Unterraum, sodass H mit einem a welches nicht in H liegt den Raum X aufspannt.

Bem1: Im endlichdimensionalen Fall dim X = n, gilt, dass dim H = n-1 ist.

Bem2: Diese Definition ist äquivalent zu der von Devotika.

Eine uneigentliche Hyperebene bezeichne den Affinen Raum A = H + z, wobei H wiederum eine Hyperebene ist.

(Definitionen nach Kowalewski)

Meine Anmerkung: Wurscht, was Du nun genau forderst -- Du solltest nur das nehmen, was Deiner Anwendung entspricht -- wenn Du affin arbeitest die zweite Definition, im linearen Falle die erste

 

[cyclonus]

Nullpunkt ist doch auch was ganz anderes als ein Nullvektor. Nullpunkt ist nur willkürlich definiert in einem Koordinatensystem, Nullvektor ist halt ein Vektor der "Länge" null.

 

[EnimaN]

also in nem vektorraum haste genau eine Null und die ist als neutrales element der addition definiert (zumindest habe ich es so in erinnerung)

ich kann mich nicht an irgendeine feste definition eines hyperraums (bzw. -ebene) erinnern, aber am ende ist es halt bloß ne definition und läuft wohl auf einen untervektorraum im linearen fall, oder eben einen untervektorraum plus einen konstanten vektor im affinen fall hinaus.

welche definition man wähl ist doch im grund egal, man sollte es nur konsequent und konsistent machen.

 

[Asta Khan_inaktiv]

Also ich kenne Hyperebene so: ein affiner Unterraum X = v + U, wobei U ein Untervektorraum eines Vektorraums V mit dim(U) = dim(V)-1.

Schätze mal, man könnte für den Fall v = 0 das ganze einen Hyperraum nennen, weil es dann eben ein UVR mit Dimension dim(V)-1 ist.

Für affine Teilräume gibt es auch alternative Definitionen, z.B. die, dass er alle Konvexkombinationen (die man deswegen glaube ich auch Affinkombinationen nennt) von seinen Elementen enthält.