Antrax4
Guest
Hi!
Ich wollte euch mal fragen, welche erstaunlichen Sätze aus der Mathematik ihr kennt. Gemeint sind Aussagen/Sachverhalte, die auf den ersten Blick paradox erscheinen, bzw. wo man eher das Gegenteil vermutet hätte.
Ich mach mal den Anfang:
1) Banach-Tarski-Paradoxon
Das Banach-Tarski-Paradoxon dürfte den meisten bekannt sein. Zwar lassen sich die dadurch enstehenden Widersprüche beseitigen, trotzdem ist es wohl die unglaublichste mathematische Aussage.
Für die, die es nicht kennen: Im Prinzip besagt der Satz, dass man eine Kugel (im R³) in endlich viele Teilmengen zerlegen kann und zwei beliebige Kugeln vom selben Radius durch Bewegung dieser Teilmengen überdecken kann, d.h.: Man kann eine Kugel aus dem nichts erschaffen!
Der Beweis dieses scheinbaren Paradoxons gelingt mit Hilfe des Auswahlaxioms.
Dazu gibt es auch einen interessanten Artikel auf Matheplanet:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=663&ref=http%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FBanach-Tarski-Paradoxon
"Darauf nahm er die fünf Brote und die zwei Fische, blickte
zum Himmel auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie
den Jüngern, damit sie sie an die Leute austeilten. Auch die zwei
Fische ließ er unter allen verteilen. Und alle aßen und wurden satt.
Als die Jünger die Reste der Brote und auch der Fische einsammelten,
wurden zwölf Körbe voll. Es waren aber fünftausend Männer, die von
den Broten gegessen hatten. Mk 6,41-44"
2) Goodstein-Folgen
Wer sich die Definition auf Wikipedia mal durchliest (hier) wird über den Satz erstaunt sein:
Jede Goodstein-Folge mit beliebigem Anfangswert n aus den natürlichen Zahlen erreicht in endlich vielen Schritten den Wert Null.
Doch das scheinbar paradoxe ist die Aussage, dass man diesen Satz nicht mit den Peano-Axiomen herleiten kann. Obwohl jedes Folgenglied eindeutig (mit Hilfe der Peano- Arithmetik) definiert ist, ist es bewiesen, dass man diesen Satz nicht mit den Peano-Axiomen beweisen kann.
Nach dem Gödelschem Unvollständigkeitssatz muß es zwar solche Aussagen geben, trotzdem sind gerade die Goodstein-Folgen ein Beispiel, dass mich erstaunt hat.
3) Ackermannfunktion
Über das Wachstum der Ackermannfunktion bin ich noch heute erstaunt.
4) Ordinal- und Kardinalzahlen
Es gibt weder die Menge aller Ordinalzahlen, noch die Menge aller Kardinalzahlen.
Als Trost kann man von der Klasse(!) aller Ordinalzahlen/Kardinalzahlen sprechen.
Die Mathematiker haben den Mengenbegriff aus guten Grund eingeschränkt. Paradoxien wie "die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten" werden so beseitigt. Trotzdem ist es erstaunlich, dass man "beliebig" viele Ordinalzahlen zu einer Menge zusammenfassen kann, aber nicht alle!
5) Das Problem der 2 Briefumschläge
Man erhält 2 Briefumschläge, mit folgenden Informationen: In einem der Umschläge wurde ein beliebiger Geldbetrag hineingetan, in den anderen das doppelte dieses Betrages. Nun soll man sich für einen der beiden Umschläge entscheiden.
Sei also X die Zufallsvariable "Betrag im ersten Umschlag" und Y "Betrag im zweiten Umschlag". Man sieht nun leicht, dass folgendes gilt ( E bezeichnet den Erwartungswert bzw. bedingten Erwartungswert):
E(X|Y) = 1/2 * (1/2*Y) + 1/2 * (2*Y) = 5/4 * Y
=> E(E(X|Y)) = E(5/4*Y) = 5/4*E(Y)
=> E(X) = 5/4*E(Y)
=> E(X) > E(Y)
Ebenso erhält man E(Y) > E(X) und somit einen Widerspruch.
Auflösen kann man diesen Widerspruch sehr einfach: Die Voraussetzungen sind nämlich nicht erfüllbar! Die Behauptung, in den Umschlag wurde ein "beliebiger Geldbetrag hineingetan", impliziert eine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen, welche es nicht gibt.
6) Ziegenproblem
Kennt wohl jeder ^^
So, nun seid ihr dran!
Ich wollte euch mal fragen, welche erstaunlichen Sätze aus der Mathematik ihr kennt. Gemeint sind Aussagen/Sachverhalte, die auf den ersten Blick paradox erscheinen, bzw. wo man eher das Gegenteil vermutet hätte.
Ich mach mal den Anfang:
1) Banach-Tarski-Paradoxon
Das Banach-Tarski-Paradoxon dürfte den meisten bekannt sein. Zwar lassen sich die dadurch enstehenden Widersprüche beseitigen, trotzdem ist es wohl die unglaublichste mathematische Aussage.
Für die, die es nicht kennen: Im Prinzip besagt der Satz, dass man eine Kugel (im R³) in endlich viele Teilmengen zerlegen kann und zwei beliebige Kugeln vom selben Radius durch Bewegung dieser Teilmengen überdecken kann, d.h.: Man kann eine Kugel aus dem nichts erschaffen!
Der Beweis dieses scheinbaren Paradoxons gelingt mit Hilfe des Auswahlaxioms.
Dazu gibt es auch einen interessanten Artikel auf Matheplanet:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=663&ref=http%3A%2F%2Fde.wikipedia.org%2Fwiki%2FBanach-Tarski-Paradoxon
"Darauf nahm er die fünf Brote und die zwei Fische, blickte
zum Himmel auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie
den Jüngern, damit sie sie an die Leute austeilten. Auch die zwei
Fische ließ er unter allen verteilen. Und alle aßen und wurden satt.
Als die Jünger die Reste der Brote und auch der Fische einsammelten,
wurden zwölf Körbe voll. Es waren aber fünftausend Männer, die von
den Broten gegessen hatten. Mk 6,41-44"
2) Goodstein-Folgen
Wer sich die Definition auf Wikipedia mal durchliest (hier) wird über den Satz erstaunt sein:
Jede Goodstein-Folge mit beliebigem Anfangswert n aus den natürlichen Zahlen erreicht in endlich vielen Schritten den Wert Null.
Doch das scheinbar paradoxe ist die Aussage, dass man diesen Satz nicht mit den Peano-Axiomen herleiten kann. Obwohl jedes Folgenglied eindeutig (mit Hilfe der Peano- Arithmetik) definiert ist, ist es bewiesen, dass man diesen Satz nicht mit den Peano-Axiomen beweisen kann.
Nach dem Gödelschem Unvollständigkeitssatz muß es zwar solche Aussagen geben, trotzdem sind gerade die Goodstein-Folgen ein Beispiel, dass mich erstaunt hat.
3) Ackermannfunktion
Über das Wachstum der Ackermannfunktion bin ich noch heute erstaunt.
4) Ordinal- und Kardinalzahlen
Es gibt weder die Menge aller Ordinalzahlen, noch die Menge aller Kardinalzahlen.
Als Trost kann man von der Klasse(!) aller Ordinalzahlen/Kardinalzahlen sprechen.
Die Mathematiker haben den Mengenbegriff aus guten Grund eingeschränkt. Paradoxien wie "die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten" werden so beseitigt. Trotzdem ist es erstaunlich, dass man "beliebig" viele Ordinalzahlen zu einer Menge zusammenfassen kann, aber nicht alle!
5) Das Problem der 2 Briefumschläge
Man erhält 2 Briefumschläge, mit folgenden Informationen: In einem der Umschläge wurde ein beliebiger Geldbetrag hineingetan, in den anderen das doppelte dieses Betrages. Nun soll man sich für einen der beiden Umschläge entscheiden.
Sei also X die Zufallsvariable "Betrag im ersten Umschlag" und Y "Betrag im zweiten Umschlag". Man sieht nun leicht, dass folgendes gilt ( E bezeichnet den Erwartungswert bzw. bedingten Erwartungswert):
E(X|Y) = 1/2 * (1/2*Y) + 1/2 * (2*Y) = 5/4 * Y
=> E(E(X|Y)) = E(5/4*Y) = 5/4*E(Y)
=> E(X) = 5/4*E(Y)
=> E(X) > E(Y)
Ebenso erhält man E(Y) > E(X) und somit einen Widerspruch.
Auflösen kann man diesen Widerspruch sehr einfach: Die Voraussetzungen sind nämlich nicht erfüllbar! Die Behauptung, in den Umschlag wurde ein "beliebiger Geldbetrag hineingetan", impliziert eine Gleichverteilung auf den natürlichen Zahlen, welche es nicht gibt.
6) Ziegenproblem
Kennt wohl jeder ^^
So, nun seid ihr dran!
