Anfangswertproblem

[HeAdbAnGeR]

y=x(1-x)y' + x²+1 , y(2)=5

ich bekomm die veränderlichen nicht gestrennt, der rest wäre wohl kein problem...

e: ich glaube mittlerweile hier soll man die veränderlich garnet trennen können... irgend ein vorschlag? substituieren?

 

[Feos]

also wenn du x als konstant annehmen darfst, hättest du ja ne gewöhnliche dgl erster ordnung, welche ja einfach zu lösen wäre...

 

[Feos]

naja... lösung ist:

y= -x/(1-x) + x +1

^^

frage ist, wie kommt man analytisch drauf ^^

 

[MesH]

Also spontan würd ich da mit exakten DGLn rangehn. Muss man allerdings mit integrierendem Faktor arbeiten, der wäre, wenn ich das so richtig sehe, dann 1/x^2, damit sollte das passen.

Ich hab grad bissel damit rumgebastelt, hab jetzt y(x) = (-2x + 1 -x^2)/(1-x) raus, könnte aber sein, dass ich mich verrechnet hab, hab nur bissel geschmiert. Das Verfahren sollte aber hier passen.

EDIT: Seh grad, dass Feos ja ne Lösung angegeben hat. Meine wäre, entsprechend umgeformt, dann y(x) = -2x/(1-x) + 1 + x, also durchaus ziemlich in der Nähe. Kann den Kram auch nochmal ausführlicher hinschreiben mit TeX oder so wenn gewünscht.

 

[HeAdbAnGeR]

also wenn du x als konstant annehmen darfst, hättest du ja ne gewöhnliche dgl erster ordnung, welche ja einfach zu lösen wäre...

Is doch auch so erste Ordnung?!

@ über mir: Ohh ja bitte

 

[MesH]

Okay. Also, das Prinzip von exakten DGLn setz ich jetz mal vorraus (-> http://de.wikipedia.org/wiki/Exakte_Differentialgleichung).

Damit:

Also brauchen wir nen integrierenden Faktor. Entweder guckt man scharf drauf, oder rechnet den mit irgendner Formel aus (gibt da n paar, bei Wikipedia steht auch eine), und erkennt, dass der dann 1/x^2 sein sollte.

Also:

Damit existiert dann n Potential (wegen symmetrischer Jacobimatrix, einfach zusammenhängendes Gebiet, siehe evtl. Funktionentheorie oder zB. http://de.wikipedia.org/wiki/Integrabilitätsbedingung):

Jetz willst du U um deine Anfangswerte ja nach y auflösen, also:

(das =! 0 ist hier wichtig)

Und nun nur noch die letzte Zeile hier lokal nach y auflösen:

(Hab auch meinen Rechenfehler gefunden und da haste dein tolles Ergebnis das Feos auch hatte ) Hoffe geholfen zu haben

 

[HeAdbAnGeR]

besten dank!